9 x 9 Magic Square

 

(Top 9 submitted solutions Zimmermann contest)

 

 

1408 units retained

 

 

 

 

1401 units 2nd best pattern

 

1400 units

 

1400

 

 

1398

 

1397

 

1394

 

 

1389

 

 

 

 

 

 

Question #1. How good are we at predicting the correct pattern for maximum water retention for the various orders of magic squares.

Answer not very good. The top contestants did not find the best pattern for many orders

 

Question #2. If one has the correct pattern in hand how good is the machinery in finding the best solution for that pattern?

Answer computer assisted human ingenuity is probably better at this than #1 above.

 

Question #3. What volume of water can be exchanged between the lakes and the ponds?

Answer Order 7 12 units

Order 8 25 units (? greater)

Lake capacities: 284 295 7x7 MS 418 units

 

Lake Base: 284 308 8x8 MS 797 units retained

 

 

 

 

For most orders the interior of the lake seems boring and amorphous. The enumeration of solutions for the order 7 magic square shows that the lake can have a base sum of 161 to 172. The spillway value of course is a constant. The lakes and ponds can exchange a fair amount of water. The Order 9 MS may require a more precise placement of numbers in the lake interior. Its solution was not turned in until the last day of the contest.

 

I imagine that a careful study was made of the 1407 solution. Improvements in number positioning were then made to achieve the 1408 retention. The dissection below may help to expose the thought process. The yellow cell with red font shows the auto sum of the 9x9 square to the left. Conditional formatting from excel spreadsheet shows duplicate numbers in both solutions in red for the outer border. When the sum of the 4 corner cells decreases by 1 the sum of the outer border increases by one.

 

1408

1407

1

37

57

47

66

50

53

55

3

1

40

57

43

66

51

55

53

3

43

59

11

77

25

75

10

15

54

38

59

11

76

30

77

10

14

54

58

7

78

21

34

22

81

12

56

58

4

79

18

35

22

81

16

56

45

73

14

23

32

30

27

74

51

50

72

23

12

41

29

20

74

48

69

17

39

28

52

36

35

26

67

3321

69

17

33

45

52

28

31

26

68

3321

44

72

18

38

42

13

20

76

46

47

73

13

39

27

24

25

75

46

64

6

80

16

31

24

79

8

61

63

5

80

21

36

19

78

7

60

40

65

9

70

19

71

4

62

29

37

65

9

71

15

70

8

62

32

5

33

63

49

68

48

60

41

2

6

34

64

44

67

49

61

42

2

1

37

57

47

66

50

53

55

3

1

40

57

43

66

51

55

53

3

43

 

 

 

 

 

 

 

54

38

 

 

 

 

 

 

 

54

58

 

 

 

 

 

 

 

56

58

 

 

 

 

 

 

 

56

45

 

 

 

 

 

 

 

51

50

 

 

 

 

 

 

 

48

69

 

 

 

 

 

 

 

67

1465

69

 

 

 

 

 

 

 

68

1464

44

 

 

 

 

 

 

 

46

47

 

 

 

 

 

 

 

46

64

 

 

 

 

 

 

 

61

63

 

 

 

 

 

 

 

60

40

 

 

 

 

 

 

 

29

37

 

 

 

 

 

 

 

32

5

33

63

49

68

48

60

41

2

6

34

64

44

67

49

61

42

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

21

 

22

 

 

 

 

 

 

18

 

22

 

 

 

 

 

14

 

 

 

27

 

 

 

 

23

 

 

 

20

 

 

 

17

 

 

 

 

 

26

 

249

 

17

 

 

 

 

 

26

 

249

 

 

18

 

 

 

20

 

 

 

 

13

 

 

 

25

 

 

 

 

 

16

 

24

 

 

 

 

 

 

21

 

19

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

26

 

87

 

17

 

 

 

 

 

26

 

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

30

 

 

 

 

 

 

12

 

29

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

156

 

 

 

 

52

 

 

 

 

156

 

 

 

38

 

13

 

 

 

 

 

 

39

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

70

 

17

 

 

 

 

 

 

 

66

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

100

 

 

 

 

 

 

 

26

 

98

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

99

 

 

 

 

 

 

31

 

 

95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

66

50

53

55

3

 

 

 

 

66

51

55

53

3

 

 

 

 

25

75

10

15

54

 

 

 

 

30

77

10

14

54

 

 

 

 

34

22

81

12

56

 

 

 

 

35

22

81

16

56

 

 

 

 

32

30

27

74

51

 

 

 

 

41

29

20

74

48

 

 

 

 

52

36

35

26

67

1041

 

 

 

 

52

28

31

26

68

1040

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

53

55

3

 

 

 

 

 

51

55

53

3

 

 

 

 

 

75

10

15

54

 

 

 

 

 

77

10

14

54

 

 

 

 

 

22

81

12

56

 

 

 

 

 

22

81

16

56

 

 

 

 

 

30

27

74

51

 

 

 

 

 

29

20

74

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

668

 

 

 

 

 

 

 

 

 

663

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53

55

3

 

 

 

 

 

 

55

53

3

 

 

 

 

 

 

10

15

54

 

 

 

 

 

 

10

14

54

 

 

 

 

 

 

81

12

56

 

 

 

 

 

 

81

16

56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

339

 

 

 

 

 

 

 

 

 

342

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

3

 

 

 

 

 

 

 

53

3

 

 

 

 

 

 

 

15

54

 

 

 

 

 

 

 

14

54